Question

9．已知点A（0，-4），B（8，0）和C（a，a），以线段AB的中点为圆心的圆过点C，则这个圆的半径的最小值等于3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=x的直线的解析式，然后求得与y=x的交点坐标，再求得交点与D之间的距离即可．

解答 解：理解过圆心C的直线与一次函数y=x垂直的交点即为这个圆的半径的最小值．
AB的中点D的坐标是：（4，-2）．
∵C（a，a）在一次函数y=x上，
∴设过D且与直线y=x垂直的直线的解析式是y=-x+b，
把（4，-2）代入解析式得：-4+b=-2，
解得：b=2，
则函数解析式是y=-x+2．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则交点的坐标是（1，1）．
则这个圆的半径的最小值是：$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（-2-1）}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
故答案是：3$\sqrt{2}$．

点评 此题考查一次函数的综合运用，两点之间的距离公式，以及两直线垂直的条件，正确理解C（a，a），一定在直线y=x上是解题的关键．