Question

如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=4x相交于点C，过直线上点A（2，8）作AB垂直于x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD=3BD．

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）在y轴上是否存在一点P，使点P到C、D两点距离之和PC+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）根据A坐标，以及AD=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；

（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；

（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则P点即为所求，利用待定系数法求出直线C′D的解析式，进而可得出P点坐标．

【解答】解：（1）∵A（2，8），

∴AB=8，OB=2，

∵AD=3BD，

∴BD=2，

∴D（2，2）

将D坐标代入反比例解析式得：k=4；

 

（2）∵由（1）知，k=4，

∴反比例函数的解析式为y=，

∴，解得x=±1．

∵x＞0，

∴x=1，

∴C（1，4）；

 

（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则P点即为所求，

∵C（1，4），

∴C′（﹣1，4）．

设直线C′D的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵D（2，2），

∴，解得，

∴直线C′D的解析式为y=﹣x+，

∴P（0，）．

【点评】此题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．