Question

4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
（1）当t=6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t=6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，△BCP的面积为12？

Answer 1

分析 （1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．

解答 解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，t=6；

（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），
∴2t=13，t=6.5；

（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=12，
∴$\frac{1}{2}$×6×CP=12，
∴CP=4，
∴2t=4，t=2；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=12=△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t=13，t=6.5．
故答案为6秒；6.5秒．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．