Question

【题目】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B，C分别在AD，AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交AF，CF于点N，H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3 时，求线段AN的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD=CF．

理由如下：如图2中，由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，

在△CAF和△BAD中，

，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD=CF

（2）解：①由（1）得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，

∴∠CFA+∠FNH=90°，

∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；

②如图3中，作BM⊥AD于M，

在Rt△AMB中，∵∠BAM=45°，AB=2，

∴AM=BM= ，DM=3 ﹣ =2 ，

BM∥AN，

∴ = ，

∴ = ，

∴AN=

【解析】（1）根据旋转变换的性质易证明△CAF≌△BAD，即可求证结论。
（2）①根据全等三角形的性质、△CAF≌△BAD，得出∠CFA=∠BDA，再证明∠FHN=90°，根据垂直的定义证明即可；
②作BM⊥AD于M，在Rt△AMB中，由∠BAM=45°，AB=2，推出AM=BM，求得DM、BM的长。再根据平行线分线段成比例得出比例式，建立方程即可求得AN的值。
【考点精析】通过灵活运用垂线的性质和平行线分线段成比例，掌握垂线的性质：1、过一点有且只有一条直线与己知直线垂直．2、垂线段最短；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例即可以解答此题．