Question

20．如图，过⊙O上一点C作弦BA的垂线，交BA延长线于D点，连OA、CA，若AC平分∠OAD．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若圆的半径为5，CD=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由等腰三角形的性质和已知条件证出∠OCA=∠DAC，得出OC∥AD，再由已知条件得出CD⊥OC，即可得出CD为⊙O的切线；
（2）作OM⊥BA于M，则四边形OCDM是矩形，∠OMA=90°，得出OM=CD=4，MD=OC=5，由勾股定理求出AM，即可得出AD的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠OAD，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：作OM⊥BA于M，如图2所示：
则四边形OCDM是矩形，∠OMA=90°，
∴OM=CD=4，MD=OC=5，
∴AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AD=MD-AM=5-3=2．

点评 本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、平行线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理；通过作辅助线证明OC∥AD和四边形OCDM是矩形是解决问题的关键．