【题目】如图,在平行四边形 中,、 的平分线 分别与线段 交于点 , 与 交于点 .
(1) 求证:,;
(2) 若 ,,,求 和 的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2) 的长度为 2,的长度为 .
【解析】
(1)由在平行四边形 中,、 的平分线 分别与线段交于点 ,易求得 ,即可得,证得 ,易证得与 是等腰三角形,即可得 ,,又由 ,即可证得;
(2)由(1)易求得 ,,即可求得 的长;过点 作 交 的延长线于点 ,易证得四边形 为平行四边形,即可得是直角三角形,然后利用勾股定理,即可求得 的长.
(1) 证明:∵ 平分,
∴.
∵平分,
∴.
∵ 四边形 平行四边形,
∴,,,
∴,
∴.
∴.
∴;
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵.
∴;
(2) 解:∵,
∴.
∴,
∵四边形 平行四边形,
∴.
∴,
∴,
过点 作 交 的延长线于点 .
∴.
∵,
∴四边形 为平行四边形.
∴,.
∴,
∴在 中:.
∴ 的长度为 2,的长度为 .
故答案为:(1)证明见解析;(2) 的长度为 2,的长度为 .
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【题目】张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,推导出“式子(x>0)的最小值是2”.其推导方法如下:在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x,则另一边长是,矩形的周长是2();当矩形成为正方形时,就有x=(x>0),解得x=1,这时矩形的周长2()=4最小,因此(x>0)的最小值是2.模仿张华的推导,你求得式子(x>0)的最小值是( )
A. 2 B. 1 C. 6 D. 10
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
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【题目】将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放,点A、B、C、D分别是四个正方形的中心,则图中四块阴影面积的和为( )
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
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【题目】下图是由一些火柴棒搭成的图案:
(1)摆第①个图案用 根火柴棒,摆第②个图案用 根火柴棒,摆第③个图案用 根火柴棒.
(2)按照这种方式摆下去,摆第n个图案用多少根火柴棒?
(3)计算一下摆121根火柴棒时,是第几个图案?
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【题目】如图,点A,B,C在一次函数的图象上,它们的横坐标依次为,1,2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是( )
A. 1 B. 3 C. D.
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【题目】如图,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:△AEF≌△DEC;
(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点P作PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0)
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;
(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;
(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,将一张正方形纸片,剪成四个大小形状一样的小正方形,然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形,再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形,如此循环进行下去;
(1)填表:
剪的次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
正方形个数 |
(2)如果剪n次,共剪出多少个小正方形?
(3)如果剪了100次,共剪出多少个小正方形?
(4)观察图形,剪了n次,小正方形的边长为原来的 ,面积是原来的 .
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