Question

12．已知：关于x的一元二次方程x²-（2m-3）x+m²-5m+2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若10＜m＜21，是否存在整数m，使方程有两个整数根，若存在求出m的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知根的判别式的值大于0，据此解关于m的不等式可得答案；
（2）解方程得出方程的解为 $x=\frac{{（2m-3）±\sqrt{8m+1}}}{2}$，根据10＜m＜21，m为整数得81＜8m+1＜169，即9＜$\sqrt{8m+1}$＜13，由方程有两个整数根知$\sqrt{8m+1}$=10或11或12，继而得出整数m的值．

解答 解：（1）△=[-（2m-3）]²-4（m²-5m+2）=8m+1，
由8m+1＞0得$m＞-\frac{1}{8}$；

（2）存在整数m，使方程有两个整数根，
原因：方程解为  $x=\frac{{（2m-3）±\sqrt{8m+1}}}{2}$，
∵10＜m＜21，m为整数，
∴81＜8m+1＜169 且为整数，
∴9＜$\sqrt{8m+1}$＜13，
又∵方程有两个整数根，
∴$\sqrt{8m+1}$=10或11或12，
∴$m=\frac{99}{8}或15或\frac{11}{8}$，
∴整数m=15，
当m=15时，x₁=19，x₂=8符合题意．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．