Question

【题目】如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边交于点，连接，则下列说法中：①；②；③tan∠AFE=3；④.正确的有( )

A.①②③B.②④C.①④D.②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

延长CB到G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，即可证得AG=AF，∠DAF=∠BAG，再证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．

证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG．如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABE=∠D=90°，

∴∠ABG=90°=∠D，

∵△ABG和△ADF中，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠1=∠2，

又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，

∴∠2+∠3=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠GAE=∠EAF=45°．

在△AEG和△AEF中，

∴△AEG≌△AEF（SAS），

∴GE=EF，

∵GE=BG+BE，DF=BG，

∴EF=DF+BF，故②正确，

∵BE=EC=3，AB=6，

，

∴∠3≠30°，故①错误，

设DF=x，则EF=x+3，

在Rt△EFC中，∵EF2=CF2+EC2，

∴（x+3）2=32+（6-x）2，

∴x=2，

∴DF=BG=2，

，故③正确，

，故④正确．

故选：D．