Question

20．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）交于点P（-1，n），且F是PE的中点．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？

Answer 1

分析 （1）先由y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），求出点P的坐标，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；
（2）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为-a+1，B点的纵坐标为-$\frac{2}{a}$，D点的纵坐标为2，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）经过点P（-1，n），
∴n=-$\frac{2}{-1}$=2，
∴P（-1，2），
∵F是PE的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴F（0，1），
设直线l的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-x+1；
（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，

∵PA=PB，
∴点D为AB的中点，
又由题意知A点的纵坐标为-a+1，B点的纵坐标为-$\frac{2}{a}$，D点的纵坐标为2，
∴得方程-a+1-$\frac{2}{a}$=2×2，
解得a₁=-2，a₂=-1（舍去）．
∴当a=-2时，PA=PB．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出直线l的解析式．