Question

19．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，$\sqrt{3}$）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）因为直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，$\sqrt{3}$）两点，所以可设y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求出答案；
（2）因为点C为线段AB上的一动点，CD⊥x轴于点D，所以可设点C坐标为（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$），那么OD=x，CD=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，利用梯形的面积公式可列出关于x的方程，解之即可．

解答 解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，
把A，B的坐标代入得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\sqrt{3}$
所以直线AB的解析为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

（2）设点C坐标为（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$），那么OD=x，CD=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
∴S_梯形OBCD=$\frac{（OB+CD）•OD}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\sqrt{3}$x．
由题意：-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\sqrt{3}$x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和解一元二次方程的有关知识，解决这类问题常用到方程和转化等数学思想方法．