【题目】已知直线y=x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,B.
(1)求抛物线解析式;
(2)点C(m,0)在线段OA上(点C不与A,O点重合),CD⊥OA交AB于点D,交抛物线于点E,若DE=AD,求m的值;
(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,在(2)的条件下,是否存在以点D,B,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)m=﹣2;(3)存在,点N的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,0),理由见解析
【解析】
(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法即可得出结论;
(2)先表示出DE,再利用勾股定理表示出AD,建立方程即可得出结论;
(3)分两种情况:①以BD为一边,判断出△EDB≌△GNM,即可得出结论.
②以BD为对角线,利用中点坐标公式即可得出结论.
(1)当x=0时,y=3,
∴B(0,3),
当y=0时,x+3=0,x=﹣3,
∴A(﹣3,0),
把A(﹣3,0),B(0,3)代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得:,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3,
(2)∵CD⊥OA,C(m,0),
∴D(m,m+3),E(m,﹣m2﹣2m+3),
∴DE=(﹣m2﹣2m+3)﹣(m+3)=﹣m2﹣3m,
∵AC=m+3,CD=m+3,
由勾股定理得:AD=(m+3),
∵DE=AD,
∴﹣m2﹣3m=2(m+3),
∴m1=﹣3(舍),m2=﹣2;
(3)存在,分两种情况:
①以BD为一边,如图1,设对称轴与x轴交于点G,
∵C(﹣2,0),
∴D(﹣2,1),E(﹣2,3),
∴E与B关于对称轴对称,
∴BE∥x轴,
∵四边形DNMB是平行四边形,
∴BD=MN,BD∥MN,
∵∠DEB=∠NGM=90°,∠EDB=∠GNM,
∴△EDB≌△GNM,
∴NG=ED=2,
∴N(﹣1,﹣2);
②当BD为对角线时,如图2,
此时四边形BMDN是平行四边形,
设M(n,﹣n2﹣2n+3),N(﹣1,h),
∵B(0,3),D(-2,1),
∴
∴n=-1,h=0
∴N(﹣1,0);
综上所述,点N的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,0).
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【题目】在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框,制成一幅挂图,如图所示,设边框的宽为xcm,如果整个挂图的面积是5400cm2 ,那么下列方程符合题意的是( )
A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400
C. (50+x)(80+x)=5400 D. (50+2x)(80+2x)=5400
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【题目】综合与实践:矩形的旋转
问题情境:
在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.具体要求:如图1,将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起,这时对角线AC和EG互相重合.固定矩形ABCD,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转,直到点E与点B重合时停止,在此过程中开展探究活动.
操作发现:
(1)雄鹰小组初步发现:在旋转过程中,当边AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N,如图2、图3所示,则线段AM与CN始终存在的数量关系是 .
(2)雄鹰小组继续探究发现:在旋转开始后,当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时,如图3所示,四边形QMRN为菱形,请你证明这个结论.
(3)雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形QMRN中∠MQN与旋转角∠AOE存在着特定的数量关系,请你写出这一关系,并说明理由.
实践探究:
(4)在图3中,随着矩形纸片EFGH的旋转,四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为,宽为,请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为多少度时,四边形QMRN的面积最大?最大面积是多少?(直接写出答案)
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【题目】如图,水平地面上有一幢高为AD的楼,楼前有坡角为30°、长为6米的斜坡.已知从A点观测B、C的俯角分别为60°和30°
(1)求楼高;
(2)现在要将一个半径为2米的⊙O从坡底与斜坡相切时的⊙O1位置牵引滚动到斜坡上至圆刚好与斜坡上水平面相切时的⊙O2位置,求滚动过程中圆心O移动的总长度.(参考数据:tan15°=2﹣)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线.交BC于点E.
(1)求证:BE=EC
(2)填空:①若∠B=30°,AC=2,则DB= ;
②当∠B= 度时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.
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【题目】如图,在□ABCD中,点E在BC边上,点F在DC的延长线上,且∠DAE=∠F.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)若AB=5,AD=8,BE=2,求FC的长。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C(0,3),A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0).点P是抛物线上一个动点,且在直线BC的上方.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大,并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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【题目】已知x轴上有点A(1,0),点B在y轴上,点C(m,0)为x轴上一动点且m<﹣1,连接AB,BC,tan∠ABO,以线段BC为直径作⊙M交线段AB于点D,过点B作直线l∥AC过A,B,C三点的抛物线为y=ax2+bx+e,直线与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E,F,当EF=BD时,则m的值为_____.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0),下列结论:①ab<0,②0<b<1,③0<a+b+c<2,④当x>﹣1时,y>0.其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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