Question

【题目】背景材料：

在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．

例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．

学习小组继续探究：

（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；

（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．

学以致用：

（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3） .

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，可得∠DAC＝∠BAE，即可证△DAC≌△BAE，可得BD＝CE；

（2）通过证明△ADE∽△ABC，可得，由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，即可得结论；

（3）过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，通过证明△AEC∽△ADB，可得 ，由锐角三角函数和勾股定理可求AE，DE，EC的长，即可求BD的长．

（1）作图

∵△ABD和△ACE都是等边三角形

∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴BE＝CD

（2）如图，

在第一个图中，∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴

∵将三角形ADE旋转一定的角度

∴∠BAC＝∠DAE

∴∠BAD＝∠CAE，且

∴△ABD∽△ACE；

（3）如图，过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，

∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°

∴△AED∽△ACB

∴

∵∠CAB＝∠DAE＝90°

∴∠CAE＝∠DAB，且

∴△AEC∽△ADB

∴

∵△AED∽△ACB

∴∠ADE＝∠ABC

∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB

∴∠ADC+∠ADE＝90°

∴∠EDC＝90°

∵tanα＝，AD＝12．

∴AE＝16

∴DE＝ ＝20

∴EC＝

∵

∴BD＝