【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;
(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于时,求旋转角的大小并指明旋转方向.
【答案】(1)证明见解析;(2)将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°.
【解析】
试题分析:(1)连接BD,证明△ABD为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;
(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可.
试题解析:(1)证明:如图1,连接BD,交AC于O,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,∴△ABD为等边三角形,∵DE⊥AB,∴AE=EB,∵AB∥DC,∴=,同理,=,∴MN=AC;
(2)解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,∴∠EDF=60°,当∠EDF顺时针旋转时,由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,在△DEG和△DFP中,∵∠GDE=∠PDF,∠DEG=∠DFP,DE=DF,∴△DEG≌△DFP,∴DG=DP,∴△DGP为等边三角形,∴△DGP的面积==,解得,DG=,则cos∠EDG=,∴∠EDG=60°,∴当顺时针旋转60°时,△DGP的面积等于;
同理可得,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也等于,综上所述,将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于.
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【题目】每到四月,许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞,人们不堪其扰,据测定,杨絮纤维的直径约为0.0000105m,该数值用科学记数法表示为( )
A.1.05×105
B.1.05×10﹣5
C.0.105×10﹣5
D.10.5×10﹣4
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【题目】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里.
4,0.5,﹣1 ,10%,﹣5,﹣3.14,0, ,+2018
(1)正整数集合{…}
(2)分数集合{…}
(3)负有理数集合{…}
(4)整数集合{…}.
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【题目】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为:.
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元),请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式;
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.
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【题目】定下面一列分式: (其中x≠0)
(1)把任意一个分式除以前面一个分式,你发现了什么规律?
(2)根据你发现的规律,试写出给定的那列分式中的第7个分式.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.
(1)请用直尺和圆规在图①中画一个以AB为边的“好玩三角形”;
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°, ,求证:△ABC是“好玩三角形”.
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