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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.

(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;

(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于时,求旋转角的大小并指明旋转方向.

【答案】(1)证明见解析;(2)将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°.

【解析】

试题分析:(1)连接BD,证明△ABD为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;

(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可.

试题解析:(1)证明:如图1,连接BD,交AC于O,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,△ABD为等边三角形,DE⊥AB,AE=EB,AB∥DC,=,同理,=MN=AC;

(2)解:AB∥DC,∠BAD=60°,∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,∠EDF=60°,当∠EDF顺时针旋转时,由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,DE=DF=,∠DEG=∠DFP=90°,在△DEG和△DFP中,∵∠GDE=PDF,DEG=DFP,DE=DF△DEG≌△DFP,DG=DP,△DGP为等边三角形,△DGP的面积==,解得,DG=,则cos∠EDG=∠EDG=60°,当顺时针旋转60°时,△DGP的面积等于

同理可得,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也等于,综上所述,将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于

练习册系列答案
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