Question

20．已知关于x的方程2x²-（3+4k）x+2k²+k=0
（1）k取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{7}{3}$，试求k的值．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判别式得出关于x的方程2x²-（3+4k）x+2k²+k=0的判别式，再根据①当△≥0，方程有实数根；②当△＜0，方程没有实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{3+4k}{2}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}+k}{2}$，代入得出关于k的方程，解方程即可．

解答 解：（1）△=[-（3+4k）]²-4×2（2k²+k）=16k+9．
①当16k+9≥0，k≥-$\frac{9}{16}$时，方程有两个不相等的实数根；
②当16k+9＜0，k＜-$\frac{9}{16}$时，方程没有实数根；?
（2）∵方程2x²-（3+4k）x+2k²+k=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{3+4k}{2}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}+k}{2}$，
依题意，得$\frac{3+4k}{2{k}^{2}+k}$=$\frac{7}{3}$，
解得：k₁=1，k₂=-$\frac{9}{14}$（不合题意，舍去），
∴k=1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．