Question

10．如图，在△ABC和△DBE中，$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{AC}{DE}$=$\frac{3}{2}$．
（1）若△ABC和△DBE的周长之差为6．求△ABC的周长；
（2）若△ABC和△DBE的面积之和为260cm²，求△DBE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定得到△ABC∽△BDE，由相似三角形的性质得到△ABC的周长：△DBE的周长=$\frac{3}{2}$，求得△ABC的周长=$\frac{3}{2}$△DBE的周长，根据已知条件得到△ABC的周长-△DBE的周长=$\frac{1}{2}$△DBE的周长=6，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BDE}}$=（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，求得S_△ABC=$\frac{9}{4}$S_△BDE，根据已知条件得到$\frac{5}{4}$S_△BDE=260，于是得到结论．

解答 解：（1）∵在△ABC和△DBE中，$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{AC}{DE}$=$\frac{3}{2}$．
∴△ABC∽△BDE，
∴△ABC的周长：△DBE的周长=$\frac{3}{2}$，
∴△ABC的周长=$\frac{3}{2}$△DBE的周长，
∵△ABC和△DBE的周长之差为6，
∴△ABC的周长-△DBE的周长=$\frac{1}{2}$△DBE的周长=6，
∴△DBE的周长=12，
∴△ABC的周长=18；
（2）∵△ABC∽△BDE，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BDE}}$=（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{9}{4}$S_△BDE，
∵△ABC和△DBE的面积之和为260cm²，
∴$\frac{5}{4}$S_△BDE=260，
∴S_△DBE=208cm²．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长的计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．