Question

5．已知：两等圆⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，若点O₁在⊙O₂外，延长O₂O₁交⊙O₁于点N，在劣弧$\widehat{NB}$上任取一点C（点C与点B不重合），CB的延长线交⊙O₂于点D，如图所示，连结AC，试比较AC与AB的大小．

Answer 1

分析 连接AO₁并延长交⊙O₁于E，连接AO₂并延长交⊙O₂于F，连接BE，BF，AD交BF于G，由AE是⊙O₁的直径，得到∠ABE=90°，同理∠ABF=90°，证得E，B，F三点共线，延长BE，AC交于H，当点C在劣弧$\widehat{NE}$上（不与点C重合）时，根据等腰三角形的性质得到∠AEF=∠AFE，于是得到∠ACB=∠AEF=∠AFE=∠ADB，证得AC=AD，推出AD＞AG＞AB，当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，当点C在劣弧$\widehat{EB}$上（不与点B重合）时，证得AC＞AH＞AB，即可得到结论．

解答 解：AC＞AB，
如图1，连接AO₁并延长交⊙O₁于E，连接AO₂并延长交⊙O₂于F，连接BE，BF，AD交BF于G，
∵AE是⊙O₁的直径，
∴∠ABE=90°，同理∠ABF=90°，
∴E，B，F三点共线，
延长BE，AC交于H，
当点C在劣弧$\widehat{NE}$上（不与点C重合）时，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠ACB=∠AEF=∠AFE=∠ADB，
∴AC=AD，
∵AB⊥EF，
∴AD＞AG＞AB，
∵AC=AD，
∴AC＞AB，
当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，
当点C在劣弧$\widehat{EB}$上（不与点B重合）时，
如图2，连接AO₁并延长交⊙O₁于E，
∴∠ABE=90°，
∴AC＞AH＞AB，
综上，AC＞AB．

点评 本题考查了两圆的位置关系，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．