Question

【题目】某数学活动小组在做角的拓展图形练习时，经历了如下过程：

（1）操作发现：点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，如图：将图1中的三角板绕点旋转，当直角三角板的边在的内部，且恰好平分时，如图2．则下列结论正确的是 （填序号即可）.

①②③平分④的平分线在直线上

（2）数学思考：同学们在操作中发现，当三角板绕点旋转时，如果直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方，那么与的差不变，请你说明理由；如果直角三角板的、边都在的内部，那么与的和不变，请直接写出与的和，不要求说明理由．

（3）类比探索：三角板绕点继续旋转，当直角三角板的边在的内部时，如图3，求与相差多少度？为什么？

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）如果直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方，那么与的差不变，理由见解析；如果直角三角板的、边都在的内部，那么与的和不变，+=30°;③30°.

【解析】

（1）利用角平分线的定义结合直角三角板的内角度数即可分别判断得出答案；
（2）当直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方时根据∠COM=120°-∠BOM，∠BON=90°-∠BOM，可得出结果；当直角三角板的、边都在的内部时，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON，可得出结果；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解：（1）∵，平分，∴，故①正确；

∵，，∴，，∴，故②正确；

∵，，∴不平分，故③错误；

∵，，∴，∴的平分线在直线上，故④正确；

故答案为：①②④.

（2）与的差不变.理由如下：当直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方时，

∵∠COM=∠BOC-∠COM=120°-∠BOM，
∠BON=∠MON-∠BOM=90°-∠BOM，
∴∠COM-∠BON=120°-90°=30°；
与的和不变，其和为30°.理由如下：当直角三角板的、边都在的内部时，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON=120°-90°=30°.

（3）∵，，

∴．