Question

6．如图，在直角坐标系中，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）P是第二象限双曲线上AB之间的一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PCA和△PBD面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）观察函数图象得到当-4＜x＜-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（2）将点AB坐标代入y=kx+b，得出k和b，再把点A或B坐标代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$得出m，从而得出一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据点P在双曲线上，设出点P坐标，再由△PCA和△PBD面积相等，得出关于a的等式，求得a的值，即可得出点P坐标．

解答 解：（1）由图象得，当-4＜x＜-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，
即不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集为-4＜x＜-1；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（-4，$\frac{1}{2}$），（-1，2），则
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象过点（-1，2），
m=-1×2=-2；
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$，
（3）设P（a，-$\frac{2}{a}$），
由△PCA和△PDB面积相等，得
$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（a+4）=$\frac{1}{2}$×|-1|×（2+$\frac{2}{a}$），
a=±2，
a=-2，
∴P点坐标是（-2，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．