【题目】在直角坐标系XOY中,二次函数图像的顶点坐标为,且与x轴的两个交点间的距离为6.
(1)求二次函数解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出Q点的坐标,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点或
【解析】
(1)由已知开设解析式:,B(7,0),进一步可求出结果;(2)过点O作CD⊥x轴于D,过点Q作QE⊥x轴于E,利用三角函数求出E,Q坐标,证明点Q在抛物线上,由抛物线的对称性,还存在一点,使△ABQ′∽△CAB.
(1)由已知开设解析式:,B(7,0)
把B(7,0)代入,求得a=
故所求解析式为
(2)在x轴上方的抛物线上存在点Q,使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似,
因为△ABC为等腰三角形,
∴当AB=BQ,
∵AB=6,
∴BQ=6,
过点O作CD⊥x轴于D,则AD=3,CD=,
∴∠BAC=∠ABC=30°,∴∠ACB=120°,∴∠ABQ=120°,
过点Q作QE⊥x轴于E,则∠QBE=60°,
∴QE=BQsin60°=,
∴BE=3,
∴E(10, 0),.
当x=10时,
∴点Q在抛物线上,
由抛物线的对称性,还存在一点,
使△ABQ′∽△CAB故存在点或.
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【题目】如图,抛物线(a,b,c是常数,且)与x轴交于A、B两点,顶点P(m,n),下列结论中,其中正确的有( )
①;②若在抛物线上,则;③关于x的方程有实数解,则;④当时,△ABP为等腰直角三角形
A.①②B.③④C.②④D.②③
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【题目】在RtABC中 ,C=90°,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C的对边,a、 b是关于的方程的两根,那么AB边上的中线长是()
A.B.C.5D.25
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC.已知半圆O的半径为3,BC=2.
(1)求AD的长.
(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,作∠DPF=∠DAC,PF交线段CD于点F.当△DPF为等腰三角形时,求AP的长.
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD=1,BC=3,CD=4,EF为梯形的中位线,DH为梯形的高,则下列结论:①. ∠BCD=60°;②. 四边形EHCF为菱形;③ ;
④. 以AB为直径的圆与CD相切于点F.其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC,交AB于G,则图中相似三角形有( )
A. 7对 B. 6对 C. 5对 D. 4对
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【题目】在平面直角坐标系中,A,B,C三点分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CP⊥DP,垂足为P,则点P的坐标为_____.
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【题目】在一个不透明的袋子里有1个红球,1个黄球和n个白球,它们除颜色外其余都相同.
(1)从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于0.5左右,求n的值;
(2)在(1)的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色.请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率.
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【题目】已知m,n是实数,定义运算“*”为:m*n=mn+n.
(1)分别求4*(﹣2)与4*的值;
(2)若关于x的方程x*(a*x)=﹣有两个相等的实数根,求实数a的值.
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