Question

【题目】学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，是中边上的-点，过点、分别作、、、，垂足分别为点、、，由与的面积之和等于的面积，有等量关系式：.像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题.

图(1) 图(2)

(1)如图(1)， 矩形中，，，点是上一点，过点作，，垂足分别为点、，求的值；

(2)如图(2)，在中，角平分线、相交于点，过点分别作、，垂足分别为点、，若，，求四边形的周长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）由矩形的性质可得∠ABC=90°，AO=CO，BO=DO，由“等积法”可求解；

（2）由“等积法”可求OM=ON=1，通过证明四边形AMON是正方形，即可求解.

解：（1）如图，连接，

则由矩形性质有：

又

∴

∴

解得：；

（2）连接，过点作，垂足为点，

又是的角平分线，、，垂足分别为点、，

，

在中，

设，则

解得：

四边形是矩形

又

矩形是正方形

正方形的周长.