Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点D是正方形OABC的边AB上的动点，OC＝6．以AD为一边在AB的右侧作正方形ADEF，连结BF交DE于P点．

（1）请直接写出点A、B的坐标；

（2）在点D的运动过程中，OD与BF是否存在特殊的位置关系？若存在，试写出OD与BF的位置关系，并证明；若不存在，请说明理由．

（3）当P点为线段DE的三等分点时，试求出AF的长度．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），B（6，6）；（2）OD⊥BF，理由见解析；（3）当P点为线段DE的三等分点时，AF的长度为2或4．

【解析】

（1）利用正方形的性质得出OA=AB=6，即可得出结论；

（2）利用SAS判断出△AOD≌△BAF，进而得出∠AOD=∠BAF，即可得出结论；

（3）先表示出BD，DP，再判断出△BDP∽△BAF，得出，代入解方程即可得出结论。

（1）∵四边形OABC是正方形，

∴BC⊥OC，AB⊥OA，OB＝AB＝BC＝OC，

∵OC＝6，

∴BC＝AB＝6，

∴A（6，0），B（6，6）；

（2）OD⊥BF，理由：如图，延长OD交BF于G，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠BAF＝∠OAD，

在△AOD和△BAF中， ，

∴△AOD≌△BAF（SAS），

∴∠AOD＝∠BAF，

∴∠BAF+∠AFB＝90°，

∴∠AOD+AFB＝90°，

∴∠OGF＝90°，

∴OD⊥BF；

（3）设正方形ADEF的边长为x，

∴AF＝AD＝DE＝x，

∴BD＝AB﹣AD＝6﹣x，

∵点P是DE的三等分点，

∴DP＝AF＝x或DP＝AF＝x

∵DE∥AF，

∴△BDP∽△BAF，

∴，

∴或 ，

∴x＝4或x＝2，

当P点为线段DE的三等分点时，AF的长度为2或4．