【题目】如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，抛物线
经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
为抛物线在第二象限内一点，并且在对称轴的左边，过点作轴的垂线，垂足为点
，与直线
交于点
，过点作轴的平行线交抛物线于点
，过点作轴的垂线，垂足为点
，设点的横坐标为
．
①当矩形
的周长最大时，求
的面积；
②在①的条件下，当矩形
的周长最大时，
是直线
上一点，
是抛物线上一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）①2；②存在，(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)
【解析】
（1）先求出
、
两点的坐标，再代入抛物线
求出
、
的值即可；
（2）①先用m表示出PM的长，再求出抛物线的对称轴及PQ的长，利用矩形的面积公式可得出其周长的解析式，进而可得出矩形面积的最大值，求出C点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②根据C点坐标得出P点坐标，故可得出PC的长，再分点F在点G的上方与点F在点G的下方两种情况进行讨论即可．
解：（1）∵y=x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-5，即A点坐标为(-5，0)，
当x=0时，y=5，即B点坐标为(0，5)，
将A(-5，0)，B(0，5)代入y=-x2+bx+c，
得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为；
（2）①∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m2-4m+5），∴PM=-m2-4m+5．
∵抛物线y=-x2-4x+5的对称轴为直线：
∴PQ=2（-2-m）=-4-2m．
∴矩形PQMN的周长l=2（PM+PQ）=2（-m2-4m+5-4-2m）
∴l=-2m2-12m+2=-2（m+3）2+20，
∵-2<0
∴当m=-3时，矩形PQMN的周长l最大，
此时点C的坐标为(-3，2)，CM=AM=2，
∴
；
②存在，点F坐标为(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)
由①可知，
以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形
设
，则
当点F在点G上方时，如图1，
即
（舍）
当点F在点G下方时，如图2，
即
（舍）
或
点F坐标为(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)
春雨教育同步作文系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】为了检测疫情期间的学习效果，某班依据学校要求进行了测试，并将成绩分成
五个等级，依据相关数据绘制如下不完整统计图表如下，请解答问题：
（1）该班参与测试的人数为________；
（2）
等级的人数之比为
，依据数据补全统计图；
（3）扇形图中，
等级人数所对应的扇形图中的圆心角为________；
（4）若全年级共有1400人，请估计年级部测试等级在
等级以上（包括级）的学生人数．
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【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．
（1）问题发现
当a＝0°时，AF＝ ，BE＝ ，
＝ ；
（2）拓展探究
试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．
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【题目】某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．
（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为 元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？
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【题目】庆祝建国70周年暨我爱我家·美丽菏泽群众文艺展演圆满落幕，某学习小组对文艺展演中的
舞蹈《不忘初心》，
独舞《梨园一生》，
舞蹈《炫动的牡丹》，
民族歌舞组合《阿里郎+
》这四个节目开展“我最喜爱的舞蹈节目”调查，随机调查了部分观众（每位观众必选且只能选这四个节目中的一个）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了多少名观众？
（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（3）学习小组准备从4个节目中随机选取两个节目的录像带回学校给同学们观看，请用树状图或者列表的方法求恰好选中舞蹈《不忘初心》和舞蹈《炫动的牡丹》的概率．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（
，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为______．
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【题目】菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为________．
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【题目】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F．
（1）当半圆O过点A时，求半圆O被AB边所截得的弓形的面积；
（2）若M为
的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值；
（3）当半圆O与矩形ABCD的边相切时，求AE的长．
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【题目】由于新冠肺炎影响，全国开展了“停课不停学”线上教学，为了解学生在家学习情况，五月7日开学后，某中学1200名学生参加了入学摸底测试，为了了解本次测试成绩情况，王老师从中抽取了部分学生的数学成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
成绩分组 | 频数 | 频率 |
50≤x＜60 | 8 | 0.16 |
60≤x＜70 | 12 | a |
70≤x＜80 | ■ | 0.5 |
80≤x＜90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合计 | ■ | 1 |
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1200名学生中有多少人的成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加学习经验分享活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
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