Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且AE+AF=AB，

(1)求证：DE⊥DF；

(2)若AC=2，求四边形DEAF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，AD⊥BC，∠C=∠B=∠BAD=∠DAC=45°，根据AE+AF=AB，AF+FC=AC可得AE=FC，利用“SAS”证明△DEA≌△DFC，得到∠EDA=∠FDC，利用等量代换即可证得∠EDF=90°，即可得证；

（2）根据全等可知S四边形DEAF=S△ADC，利用勾股定理可求得AD、DC的长，再求△ADC的面积即可完成.

（1）如图，

证明：连接AD

∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴AD=CD，AD⊥BC，∠C=∠B=∠BAD=∠DAC=45°

∵AE+AF=AB，AF+FC=AC

∴AE=FC

在△DEA和△DFC中

∴△DEA≌△DFC（SAS）

∴∠EDA=∠FDC

∵∠FDC+∠ADF=90°

∴∠EDA+∠ADF=90°

即∠EDF=90°

∴DE⊥DF

（2）

解：∵△DEA≌△DFC

∴S四边形DEAF=S△ADC

由勾股定理得：

∴

S四边形DEAF=S△ADC