【题目】在ABCD中,过点D作对DE⊥AB于点E,点F在边CD上,CF=AE,连结AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若CF=6,BF=8,DF=10,求证:AF是∠DAB的角平分线.
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵CF=AE,
∴BE=DF.
∴四边形BFDE为平行四边形.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴四边形BFDE是矩形
(2)证明:由(1)得,四边形BFDE是矩形,
∴∠BFD=90°.
∴∠BFC=90°,
在Rt△BFC中,由勾股定理得:BC= = =10.
∴AD=BC=10.
∵DF=10,
∴AD=DF.
∴∠DAF=∠DFA.
∵AB∥CD,
∴∠DFA=∠FAB.
∴∠DAF=∠FAB.
∴AF平分∠DAB.
即AF是∠DAB的平分线
【解析】(1)由平行四边形的性质和已知条件得出BE=DF,证明四边形BFDE为平行四边形,再由DE⊥AB,即可得出结论;(2)由矩形的性质和勾股定理求出BC,得出AD=BC=DF,证出∠DAF=∠DFA,再由平行线的性质即可得出结论.
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和矩形的判定方法,掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分;有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;两条对角线相等的平行四边形是矩形即可以解答此题.
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【题目】如图,AD是直角三角形ABC斜边上的中线,AE⊥AD交CB延长线于E , 则图中一定相似的三角形是( )
A.△AED与△ACB
B.△AEB与△ACD
C.△BAE与△ACE
D.△AEC与△DAC
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【题目】在一次全程为20km的越野赛中,甲、乙两名选手所跑的路程y(km)与时间x(h)之间函数关系的图象如图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD所示,两图象的交点为M.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)请求出图中a的值;
(2)在乙到达终点之前,问:当x为何值时,甲、乙两人相距2km?
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【题目】已知正方形ABCD,E为平面内任意一点,连结DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG,连结EC,AG.
(1)当点E在正方形ABCD内部时,
①依题意补全图形;
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路.
(2)当点B,D,G在一条直线时,若AD=4,DG= ,求CE的长.
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【题目】抛物线y1=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,OB=OC.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,若点C在直线y2=﹣3x+t上,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求n的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,连接相应的对角线AC,EG.
(1)求证△ABC∽△EFG;
(2)若 = ,直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为 .
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【题目】点P到∠AOB的距离定义如下:点Q为∠AOB的两边上的动点,当PQ最小时,我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离,记为d(P,∠AOB).特别的,当点P在∠AOB的边上时,d(P,∠AOB)=0.在平面直角坐标系xOy中,A(4,0).
(1)如图1,若M(0,2),N(﹣1,0),则d(M,∠AOB)= , d(N,∠AOB)=;
(2)在正方形OABC中,点B(4,4).如图2,若点P在直线y=3x+4上,且d(P,∠AOB)=2 ,求点P的坐标;
(3)如图3,若点P在抛物线y=x2﹣4上,满足d(P,∠AOB)=2 的点P有个,请你画出示意图,并标出点P.
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