Question

【题目】已知点P是Rt△ABC斜边AB所在直线上的一个不与A、B重合的动点，分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，点Q为斜边AB的中点

（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 ，QE与QF的数量关系是　 ，并说明理由；

（2）当点P不与点Q重合时，判断QE与QF的数量关系并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF， QE＝QF，理由见解析；（2）①当点P在线段AB上不与点Q重合时，QE＝QF，证明见解析；②当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，结论QE＝QF成立，证明见解析.

【解析】

（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

解：（1）如图1，

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE＝QF，

理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ＝BQ，

∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ＝∠BFQ＝90°，

∴△AEQ≌△BFQ（AAS），

∴QE＝QF，

故答案为：AE∥BF，QE＝QF；

（2）①当点P在线段AB上不与点Q重合时，QE＝QF，

证明：延长EQ交BF于D，如图2，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ＝∠BDQ，又∠AQE＝∠BQD，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ＝DQ，

∵∠BFE＝90°，

∴QE＝QF；

②当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，

证明：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，

∴∠AEQ＝∠BDQ，

又，∠AQE＝∠BQD，AQ=BQ，

∴△AEQ≌△BDQ（AAS），

∴EQ＝DQ，

∵∠BFE＝90°，

∴QE＝QF．