Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点C重合）对角线AC与BD相交于点O，连接AE，交BD于点G．

（1）根据给出的△AEC，作出它的外接圆⊙F，并标出圆心F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接EF．①求证：∠AEF＝∠DBC；

②记t＝GF2+AGGE，当AB＝6，BD＝6时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①证明见解析②9≤t≤12

【解析】

（1）作EC的垂直平分线，其与BD的交点即为外心F；

（2）连接AF，EF，利用菱形的性质及外心的定义可证明∠DBC＝90°﹣∠ACB及∠AEF＝90°﹣∠ACB，可推出结论；

（3）先证△ABG∽△FEG，再证△EFB∽△GFE，由相似三角形的性质可推出t＝GF2+AGGE＝GF2+GFBG＝GF（GF+BG）＝GFBF＝EF2，在菱形ABCD中，AC⊥BD，EF＝AF≥AO，∴EF2≥AO2＝32＝9，当点F与点O重合时，AF最大，求出此时t的最大值为12，即可写出t的取值范围．

解：（1）如图1，⊙F为所求作的圆；

（2）①证明：

如图2，连接AF，EF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠DBC＝90°﹣∠ACB，

∵FA＝FE，

∴∠AEF＝∠FAE，

∴∠AEF＝（180°﹣∠AFE）＝90°﹣∠AFE，

又∠ACB＝∠AFE，

∴∠AEF＝90°﹣∠ACB，

又∵∠DBC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AEF＝∠DBC；

②解：∵四边形ABCD为菱形，

∴∠ABD＝∠CBD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝×，

在Rt△ABO中，AO＝，

又∵∠AGB＝∠FGE，∠ABG＝∠FEG，

∴△ABG∽△FEG，

，

∴AGGE＝GFBG，

∵∠GEF＝∠FBE，∠GFE＝∠EFB，

∴△EFB∽△GFE，

∴，

∴GFBF＝EF2，

∴t＝GF2+AGGE＝GF2+GFBG＝GF（GF+BG）＝GFBF＝EF2，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，EF＝AF≥AO，

∴EF2≥AO2＝32＝9，

如图3，当点F与点O重合时，AF最大，

由题意可知：AF＝BF，设AF＝x，则OF＝3﹣x，

∵AO2+OF2＝AF2，

∴32+（3﹣x）2＝x2，

解得，x＝2，

∴当x＝2时，t的最大值为12，

∴9≤t≤12．