Question

【题目】在菱形中，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．对于任意菱形，下面四个结论中：①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④存在无数个四边形是正方形；所有正确结论的序号是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．

解：①如图，∵四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于O，
过点O作直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，

由对称性可得：OM=OP，ON=OQ，
则四边形MNPQ是平行四边形，由于是直线MP和QN是任意所作，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；

②当MP⊥NQ时，四边形MNPQ是菱形，

由于MP是任意所作，当MP绕点O旋转一定角度时，且都存在NQ⊥MP，

故存在无数个四边形是菱形；故正确；

③当MP=NQ时，四边形MNPQ是矩形，

由于MP是任意所作，只要以O为圆心，OM为半径的圆与菱形ABCD有交点，则都存在NQ=MP，

故存在无数个四边形是矩形；故正确；

④当四边形ABCD是正方形时，
则∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，

当AM=BN=CP=DQ时，

由AB=BC=CD=DA，

可得：AQ=BM=CN=DP，

在△AMQ和△BNM中，

，

∴△AMQ≌△BNM（SAS），

∴∠AMQ=∠BNM，∠AQM=∠BMN，MQ=MN，

∵∠BMN+∠BNM=90°，

∴∠BMN+∠AMQ=90°，

∴∠NMQ=90°，

∵MQ=MN，

∴此时四边形MNPQ为正方形，

故只有当四边形ABCD为正方形时，存在四边形是正方形，故错误.

故答案为：①②③.