Question

【题目】关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．

（1）求k的取值范围；

（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m＝﹣2或﹣3；（3）成立，见解析

【解析】

（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k的取值范围，即可；

（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m为整数，即可求出m的值；

（3）根据（1）中k的取值范围和k为正整数得出k＝2，化简一元二次方程，并将两根和与积代入计算，得出关于m、n的等式，结合根的判别式，即可得到结论．

（1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，

解得：x＝2k﹣4，

∵关于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数，

∴2k﹣4≤0，解得：k≤2，

∵由一元二次方程②，可知k≠1，

∴k≤2且k≠1；

（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，

∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，

∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，

因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，

∴x1＝﹣=，x2＝﹣1，

∵方程②的解为负整数，m为整数，

∴m+1＝﹣1或﹣2，

∴m＝﹣2或﹣3；

（3）|m|≤2成立，理由如下：

由（1）知：k≤2且k≠1，

∵k是正整数，

∴k＝2，

∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，

∴x1+x2＝ ＝﹣2m，x1x2＝ ＝1+n，

∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，

∴2m2＝n+5 ①，

△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，

把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，

∴|m|≤2．