Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3＝0（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为或或（﹣1，6）或；（3）存在，Q（﹣1，2）．

【解析】

（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：

①当CP＝PM时，②当CM＝MP时，③当CM＝CP时，可分别得出P的坐标；

（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴，

解得：．

∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在，如图1，

∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其对称轴为，

∴设P点坐标为（﹣1，a），

∴C（0，3），M（﹣1，0），

PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，

分类讨论：

（1）当PC＝PM时，

（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，

∴P点坐标为：P1（﹣1，）；

（2）当MC＝MP时，

（﹣1）2+32＝a2，解得，

∴P点坐标为：或；

（3）当CM＝CP时，

（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），

∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．

综上所述存在符合条件的点P，其坐标为或或P（﹣1，6）或．

（3）存在，Q（﹣1，2），

理由如下：如图2，

点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．

设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．

将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，

解得，

所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．

将x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．