【题目】中,,的顶点是底边的中点,两边分别与交于点.
(1)如图1, ,当的位置变化时,是否随之变化?证明你的结论;
(2)如图2,当,当 °时,(1)中的结论仍然成立,求出此时的值.
【答案】(1)BF+CE=a,是定值,不变.见解析;(2)60,9
【解析】
(1)结论:BF+CE=a,是定值.如图1中,连接AD.只要证明△BDF≌△ADE即可解决问题;
(2)当∠EDF=60°时,BF+EC=9,是定值.连接AD,作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N.只要证明△DMF≌△DNE(ASA),推出FM=EN,由含30°的直角三角形的性质,推出BM=CN=,推出BF+CE=BMFM+CN+EN=2BM,即可解决问题.
解:(1)结论:BF+CE=a,是定值.
理由:如图1中,连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=CD,
∴AD⊥BC,∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°,AD=BD=CD.
∵∠EDF=∠ADB=90°,
∴∠BDF=∠ADE,
∴△BDF≌△ADE(ASA),
∴BF=AE,
∴BF+CE=AE+CE=AC=a,是定值.
(2)当∠EDF=60°时,BF+EC=9,是定值.
理由:如图2中,连接AD,作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N.
∵∠AMD=∠AND=90°,∠A=120°,
∴∠MDN=∠EDF=60°,
∴∠MDF=∠NDE,
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∴DM=DN,
∴△DMF≌△DNE(ASA),
∴FM=EN,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∵∠B=∠C=30°,
∴AD=AB=AC=3,∠BAD=∠CAD=60°.
又∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠ADM=∠ADN=30°,
∴AM=AN=AD=,
∴BM=CN=,
∴BF+CE=BM﹣FM+CN+EN=2BM=9,是定值.
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【题目】某文化用品商店用元采购一批书包,上市后发现供不应求,很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包,进货单价比第一次高元,商店用了元,所购数量是第一次的倍.
(1)求第一批采购的书包的单价是多少元?
(2)若商店按售价为每个书包元,销售完这两批书包,总共获利多少元?
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【题目】(数学问题)在同一直角坐标系内直线与,当满足什么条件时,这两条直线互相垂直?
探究问题:我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:如图①,在同一直角坐标系内直线与有怎样的位置关系?
解:如图①,设点在直线上,则点一定在直线上.过点分别作的垂线,垂足分别为.
则,
∴
∵
∴
所以,在同一直角坐标系内直线与互相垂直.
探究二:如图②,在同一直角坐标系内直线上,则点一定在直线上.过点分别作轴的垂线,垂足分别为.
∵,,,
∴,
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
所以,在同一直角坐标系内直线与互相垂直.
探究三:如图③,在同一直角坐标系内直线与有怎样的位置关系?
(仿照上述方法解答,写出探究过程)
(1)在同一直角坐标系内直线与,当满足数量关系为 时,这两条直线互相垂直.
(2)在同一直角坐标系内已知直线与直线,使它与直线互相垂直,的值为: ;两直线垂足的坐标为: .
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【题目】某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8部;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
(1)当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
(2)若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(3)商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元?此时的最大利润是多少元?
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【题目】△ABC是等边三角形,点E、F分别是边BC、AC上的点,且BE=CF,AE、BF交于点D.
(1)如图1,求证:AE=BF.
(2)如图2,过点A作AG⊥BF于点G,过点C作CH∥AE交BF延长线于点H,若D为BG中点,求BH:CH的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,L为BA延长线上一点,且FL=FB,△FLA的面积为2,求△ABC的面积.
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【题目】某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°(如图),测量队在山坡上前进600米到D处,再测得树顶的仰角为60°,已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则山高为( )(精确到1米, =1.732).
A. 585米 B. 1014米 C. 805米 D. 820米
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【题目】如图,在中,平分交于点,延长至点平分,且的延长线交于点,若.
求证:;
求的度数;
若在图中继续作与的平分线交于点,作与的平分线交于点,作与的平分线交于点,以此类推,作与的平分线交于点,请用含有的式了表示的度数(直接写答案).
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【题目】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:3+2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b(其中a、b、m、n均为整数),
则有:a+b,∴a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b,用含m、n的式子分别表示a、b得:a= ,b= ;
(2)利用所探索的结论,用完全平方式表示出:7+4= .
(3)请化简:.
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