Question

【题目】△ABC是等边三角形，点E、F分别是边BC、AC上的点，且BE=CF，AE、BF交于点D．

（1）如图1，求证：AE=BF．

（2）如图2，过点A作AG⊥BF于点G，过点C作CH∥AE交BF延长线于点H，若D为BG中点，求BH：CH的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，L为BA延长线上一点，且FL=FB，△FLA的面积为2，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BH：CH=；（3）△ABC的面积为9．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠C，证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，得到答案；

（2）连接CG，证明△ABD≌△BCG（SAS），得BD＝CG，∠ADB＝∠BGC＝120，根据平行线的性质得∠H＝∠ADG＝60，证明△CGH是等边三角形，得BH＝3BD＝3CH，得结论；

（3）如图3，作辅助线，构建高线FM，设CF＝a，证明△BCF∽△BHC，，根据同高三角形面积的比为对应底边的比．

（1）如图1．

∵三角形ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=60，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF；

（2）如图2，由（1）得：△ABE≌△BCF，

∴∠BAE=∠CBF．

∵∠ADG=∠ABD+∠BAE，

∴∠ADG=∠ABD+∠CBF=∠ABC=60，

∴∠ADB=120．

∵AG⊥BH，

∴∠DAG=30，

∴DG=AD．

∵D为BG中点，

∴BD=DG=BG，

∴AD=BG，

连接CG，如图2所示：

在△ABD和△BCG中，

，

∴△ABD≌△BCG（SAS），

∴BD=CG，∠ADB=∠BGC=120，

∴∠CGH=60．

∵CH∥AE，

∴∠H=∠ADG=60，

∴∠CGH=∠H=60，

∴△CGH是等边三角形，

∴GH=CH=CG=BD，

∴BH=3BD=3CH，

∴BH：CH=；

（3）如图3，由（2）知：∠H=∠ADF=60，

∴∠BCF=∠H=60，∠CBF=∠CBH，

∴△BCF∽△BHC，

∴，

设CF=a，则BC=3a，AF=2a，

过F作FM⊥AB于M，

Rt△AFM中，∠FAM=60，∴∠AFM=30，∴AM=a，FM=a，

∴BM=3a﹣a=2a．

∵BF=FL，

∴LM=BM=2a，

∴AL=a，

∴=．

∵△FLA的面积为2，

∴△ABF的面积为6．

∵

∴△ABC的面积为9．