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【题目】如图(1),在□ABCD中,PCD边上的一点,APBP分别平分∠DAB∠CBA

1】判断△APB是什么三角形?证明你的结论;

2】比较DPPC的大小;

3】如图(2)以AB为直径作半圆O,交AD于点E,连结BEAP交于点F,若AD=5cmAP=8cm,求证△AEF∽△APB,并求tan∠AFE的值。

【答案】

1 △APB是直角三角形,理由如下:

□ABCD中,AD∥BC

∴∠DAB +∠ABC = 180°

∵APBP分别平分∠DAB∠CBA

∴∠PAB =∠PBA =

∴∠PAB+∠PBA=

∴△APB是直角三角形;

2 ∵DC∥AB

∴∠BAP =∠DPA

∵∠DAP =∠PAB

∴∠DAP =∠DPA

∴DA = DP

同理证得CP=CB

∴DP = PC

3 ∵AB⊙O直径,

∴∠AEB = 90°

又(1)易知∠APB = 90°

∴∠AEB =∠APB

∵AP为角平分线,即∠EAF=∠PAB

∴△AEF∽△APB

由(2)可知DP =" PC" = AD

∴ AB =" DC" =" 2AD" = 10cm

Rt△PAB中,cm

△AEF∽△APB

∠AFE=∠ABP

∴tan∠AFE = tan∠ABP=

【解析】

1】可通过角的度数来判断三角形APB的形状.由于ABCD是平行四边形,AD∥BC,那么同旁内角∠DAB∠CBA的和应该是180°APBE平分∠DAB∠ABP,于是∠PAB∠ABP的和就应该是90°,即∠APB=90°,因此可得出三角形APB的形状.

2】可通过平行和角平分线,通过等角对等边得出DP=AP,同理可证出PC=BC,根据平行四边形的性质,AD=BC,可得出DP=PC

3】利用两个角相等求出△AEF∽△APB,然后利用(2)求出PB的长度,在根据∠AFE=∠ABP,然后求出tan∠AFE的值.

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