Question

【题目】如图，在中，平分交于点，延长至点平分，且的延长线交于点，若．

求证：；

求的度数；

若在图中继续作与的平分线交于点，作与的平分线交于点，作与的平分线交于点，以此类推，作与的平分线交于点，请用含有的式了表示的度数(直接写答案)．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠E=10°；（3）∠En+l=∠E．

【解析】

（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，将第一式代入第二式即可得证；
（2）根据角平分线及三角形外角的性质得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+
∠DBC，则∠D=2∠E，再利用上题结论∠DFE=∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数；
（3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠E1=∠E，同理得出∠E2=∠E1，则∠E2=∠E=∠E，由此得出规律∠En+l=∠E．

（1）证明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，
∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；

（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，
∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=∠DBC，
∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，
∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC），
∴∠E=∠D，
∴∠D=2∠E．
∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，
∴∠D+∠E=∠DEF-∠A=63°-33°=30°，
∴2∠E+∠E=30°，
∴∠E=10°；

（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG，
∴∠E1CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）．
∵BE1平分∠EBC，
∴∠E1BC=∠EBC．
∵∠E1CG=∠E1+∠E1BC=∠E1+∠EBC，
∴∠E1+∠EBC=（∠E+∠EBC），
∴∠E1=∠E．
同理：∠E2=∠E1，
∴∠E2=∠E=∠E，
∴∠En+l=∠E．