Question

如图，正方形ABCD的边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当点M在BC边上运动时，始终保持AM⊥MN．
（1）请你找出图中一对相似三角形，并加以证明；
（2）当点M运动到什么位置时，线段CN的长度最大？求出此时BM和CN的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用正方形的性质进而得出得出对应角之间关系进而求出即可；
（2）利用相似三角形的性质进而结合二次函数最值求法得出即可．

解答：（1）答：△ABM∽△MCN，
证明：∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠CMN=90°，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△ABM∽△MCN；

（2）解：设BM=x，由（1）知，△ABM∽△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，即

6

6-x

=

x

CN

，
则CN=

1

6

x（6-x）=-

1

6

（x-3）²+

3

2

，
故当x=3时，即点M在BC的中点时，线段CN的长度最大，
此时，BM=3，CN=

3

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．