Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.

（1）证明：BE+CF=EF2；

（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AD，首先利用等腰直角三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠DAE，得出∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE，得出CF=AE，DF=DE，得出BE=AF，再根据勾股定理即可得出结论；

（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理求出EF，进而求出DE、DF的值，代入S△EDF=DE2进行求解即可．

(1)证明：连接AD,如图所示：

∵AB=AC,D为BC的中点,∠BAC=90°，

∴AD⊥BC,AD=CD=BD,∠C=∠B=45°,∠DAE=45°，

∵DE⊥DF，

∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，

即∠CDF=∠ADE，

在△DCF和△ADE中,，

∴△DCF≌△ADE(ASA)，

∴CF=AE，DF=DE，

∴BE=AF，

∵AF2+AE2=EF2，

∴BE2+CF2=EF2；

(2)由(1)知：AE=CF=5，同理AF=BE=12，

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2=52+122=169，

∴EF=13，

又∵由(1)知：△AED≌△CFD，

∴DE=DF，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴DE=DF=EF，

∴△DEF的面积=DE2= .