Question

将抛物线y1=x2向右平移2个单位，得到抛物线y₂的图象．P是抛物线y₂对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：根据向右平移，横坐标减表示出抛物线y₂的函数解析式，然后表示出点A、B的坐标，再表示出AB的长度与AP的长度，然后根据等腰直角三角形的两直角边相等列出方程求解即可．

解答：解：∵抛物线y₁=x²向右平移2个单位，
∴抛物线y₂的函数解析式为y=（x-2）²=x²-4x+4，
∴抛物线y₂的对称轴为直线x=2，
∵直线x=t与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，t²-4t+4），
∴AB=|t²-4t+4-t|=|t²-5t+4|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|t²-5t+4|=|t-2|，
∴t²-5t+4=t-2①或t²-5t+4=-（t-2）②，
整理①得，t²-6t+6=0，
解得t₁=3+

3

，t₂=3-

3

，
整理②得，t²-4t+2=0，
解得t₁=2+

2

，t₂=2-

2

，
综上所述，满足条件的t值为：3+

3

或3-

3

或2+

2

或2-

2

，
故答案为：3+

3

或3-

3

或2+

2

或2-

2

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的性质，根据抛物线与直线的解析式表示出AB、AP或（BP）的长，然后根据等腰直角三角形的性质列出方程是解题的关键．