Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，分别沿CA，CB向终点A，B移动，点M的速度是每秒1cm，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动．设移动时间为t（0＜t＜2.5）秒，当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形可能与△BPN相似？此时点N的速度时多少？

Answer 1

分析 分两种情况：①∠APM=∠B时，得出PM∥BC，得出比例式，解方程即可；②∠B=∠PMA时，求出∠APM=90°，由三角函数cosA得出方程，解方程求出t=$\frac{3}{2}$当PN⊥BC时，△APM∽△PNB，此时BP=2t=3，由三角函数求出BN，得出CN，即可求出N的速度．

解答 解：①∠APM=∠B时，如图1所示：
则PM∥BC，
∴$\frac{5-2t}{5}=\frac{4-t}{4}$，
解得：t=0（不合题意）；
②∠B=∠PMA时，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A+∠PMA=90°，
∴∠APM=90°，
由cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{5-t}{4-t}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
当PN⊥BC时，△APM∽△PNB，
此时BP=2t=3，BN=BP•cosB=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴CN=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴N的速度v=$\frac{6}{5}$÷$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{5}$；
PN⊥AB时，此时BP=3，BN=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5＞BC，
∴不存在．
综上所述：当t=$\frac{3}{2}$s时，以A，P，M为顶点的三角形与△BPN相似，此时点N的速度是$\frac{4}{5}$cm/s．

点评 本题考查了相似三角形的判定的判定与性质、三角函数；由相似三角形得出比例式是解决问题的关键．