Question

已知：如图所示，D在等边△ABC的边AC上，∠ACE=∠ABD，CE=BD．试说明：
（1）△ADE是等边三角形；
（2）CD+DE=AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=AC，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAE=∠BAC，全等三角形对应边相等可得AD=AE，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=AC，AD=DE，再根据CD+AD=AC等量代换即可得证．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠ACE=∠ABD CE=BD

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠CAE=∠BAC=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形

（2）∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=DE，
∵CD+AD=AC，
∴CD+DE=AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．