Question

【题目】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，则称点C是（A，B）的奇异点，例如图1中，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离为2，到点B的距离为1，则点C是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．

（1）在图1中，直接说出点D是（A，B）还是（B，C）的奇异点；

（2）如图2，若数轴上M、N两点表示的数分别为﹣2和4，

①若（M，N）的奇异点K在M、N两点之间，则K点表示的数是　 　；

②若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，请求出K点表示的数．

（3）如图3，A、B在数轴上表示的数分别为﹣20和40，现有一点P从点B出发，向左运动．若点P到达点A停止，则当点P表示的数为多少时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点？

Answer 1

【答案】（1）点D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；（2）①2；②10；（3）当点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．

【解析】

（1）根据“奇异点”的概念解答；

（2）①设奇异点表示的数为a，根据“奇异点”的定义列出方程并解答；

②首先设K表示的数为x，根据（1）的定义即可求出x的值；

（3）分四种情况讨论说明一个点为其余两点的奇异点，列出方程即可求解．

解：（1）点D到点A的距离为1，点D到点C的距离为1，到点B的距离为2，

∴点D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；

（2）①设奇异点K表示的数为a，

则由题意，得a（2）＝2（4a）．

解得a＝2．

∴K点表示的数是2；

②（M，N）的奇异点K在点N的右侧，设K点表示的数为x，

则由题意得，

x﹣（﹣2）＝2（x﹣4）

解得x＝10

∴若（M，N）的奇异点K在点N的右侧，K点表示的数为10；

（3）设点P表示的数为y，

当点P是（A，B）的奇异点时，

则有y+20＝2（40﹣y）

解得y＝20．

当点P是（B，A）的奇异点时，

则有40﹣y＝2（y+20）

解得y＝0．

当点A是（B，P）的奇异点时，

则有40+20＝2（y+20）

解得y＝10．

当点B是（A，P）的奇异点时，

则有40+20＝2（40﹣y）

解得y＝10．

∴当点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．