Question

17．如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，点A在点B的左边，顶点为P，且线段AB的长为2．
（1）求点A的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC-GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由．
（3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求值直线y=-x+3与x轴的交点B，然后根据AB的长，即可求得OA的长，则A的坐标即可求得；
（2）利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（3）由于A、B两点关于抛物线的对称轴即直线x=2对称，所以G点为直线CA与直线x=2的交点，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，再令x=2，求出y的值，进而得出G点坐标；
（4）分成$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°和$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．

解答 解：（1）当y=0时，-x+3=0，解得x=3，即B（3，0），
由AB=2，得3-2=1，
A的坐标为（1，0）；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=x²-4x+3；
（3）延长CA，交对称轴于点G，连接GB，则|GC-GB|=GC-GA=AC最大．
∵抛物线y=x²-4x+3与x轴交于点A、点B（3，0），且对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+m，
∵A（1，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+m=0}\\{m=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴y=-3x+3，
当x=2时，y=-3×2+3=-3，
∴G点坐标为（2，-3）；
（4）①当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0）．
②当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴Q₂的坐标是（$\frac{7}{3}$，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0）

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得QB的长是关键．