Question

17．已知：二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、D两点坐标代入二次函数y=x²+bx+c，解方程组即可解决．
（2）利用轴对称找到点P，用勾股定理即可解决．
（3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决．

解答 解：（1）因为二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-3，0），D（-2，-3），所以$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以二次函数解析式为y=x²+2x-3．
（2）∵抛物线对称轴x=-1，D（-2，-3），C（0，-3），
∴C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，
此时PA+PD=PA+PC=AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
（3）设点P坐标（m，m²+2m-3），
令y=0，x²+2x-3=0，
x=-3或1，
∴点B坐标（1，0），
∴AB=4
∵S_△PAB=6，
∴$\frac{1}{2}$•4•|m²+2m-3|=6，
∴m²+2m-6=0，m²+2m=0，
∴m=0或-2或-1+$\sqrt{7}$或-1-$\sqrt{7}$．
∴点P坐标为（0，-3）或（-2，-3）或（-1+$\sqrt{7}$，3）或（-1-$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题考查待定系数法确定二次函数解析式、轴对称-最短问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．