Question

16．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB与点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：△ADF是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得BE∥DF，再由条件BE=DF，DE⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；
（2）首先根据勾股定理计算出BC的长，根据平行四边形的性质可得AD=5，再由DF=5可得△ADF是等腰三角形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥DF，
又∵BE=DF，DE⊥AB，
∴四边形BFDE是矩形；

（2）∵四边形BFDE是矩形，
∴BF⊥CD，
∴∠BFC=90°，
又∵CF=3，BF=4，
∴BC=5，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
又∵DF=5，
∴AD=DF=5，
∴△ADF是等腰三角形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，以及平行四边形的性质，勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．