【题目】如图①,Rt△ABC中,∠B=90°∠CAB=30°,AC⊥x轴.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,5),点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.(直接写出结果)
(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②),求点P的运动速度.
(3)求题(2)中面积S与时间t之间的函数关系式,及面积S取最大值时,点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持题(2)中的速度不变,当t取何值时,PO=PQ,请说明理由.
【答案】(1)∠BAO=60°; (2)点P的运动速度为2个单位/秒;(3)P(,);(4)t=时,PO=PQ.
【解析】
(1)利用∠BAO的正切值,求出∠BAO的度数即可;
(2)利用图②中的函数图象,求得点P的运动时间与路程解决即可;
(3)利用特殊角的三角函数,三角形的面积以及配方法解决问题;
(4)分两种情况进行列方程解决问题.
(1)如图,
过点B作BE⊥OA于E,则OE=5,BE=5,OA=10,
∴AE=5,Rt△ABE中,tan∠BAO=,
∴∠BAO=60°;
(2)由图形可知,当点P运动了5秒时,它到达点B,此时AB=10,因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒,
点P的运动速度为2个单位/秒;
(3)P(10﹣t, t)(0≤t≤5),
∵S=(2t+2)(10﹣t),
=﹣(t﹣)2+ ,
∴当t=时,S有最大值为,
此时P();
(4)当P在AB上时,根据P点纵坐标得出:
,
解得:t= ,
当P在BC上时, ,
此方程无解,故t不存在,
综上所知当t=时,PO=PQ.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)求CF的长
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
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【题目】在Rt△ACB中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AD∶AO=8∶5,BC=3,求BD的长.
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【题目】请阅读下列材料:
提出问题:现有2个边长是1的小正方形,请你把它们分割后,(图形不得重叠,不得遗漏),组成一个大的正方形,解决这个问题的方法不唯一,但有一个解题的思路是:设新正方形的边长为.依题意,割补前后图形的面积相等,有,解得,由此可知新正方形的边长等于原来正方形的对角线的长.
(1)解决问题:现有5个边长为1的正方形,排列形式如图3,请把它们分割后拼接成一个新的正方形,要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是:设新正方形的边长为().依题意,割补前后图形的面积相等,有 ,解得= .由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长.请你在图3中画出分割线,在图4中拼出新的正方形.
(2)模仿演练:
现有10个边长为1的正方形,排列形式如图5,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图5中画出分割线,并在图6中的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.说明:直接画出图形,不要求写分析过程.
(3)应用创新:
图7是一个大的矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图7中画出分割线,在图8中要求画出三块图形组装成大正方形的示意图).
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,△AOM面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小,并求出其最小值和P点坐标.
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【题目】已知抛物线经过A(2,0). 设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;
(2)如图,在直线 上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐
标;若不存在,请说明理由;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
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【题目】课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少?请你计算.
(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
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