Question

6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，D是⊙O上的一个动点（C，D两点位于直径AB的两侧），连接CD，过点C作CE⊥CD交DB的延长线于点E．若AB=2$\sqrt{5}$，则AC=2，线段CE长度的最大值是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，得到BC=2AC，根据勾股定理求出AC的长，根据当CD最大时，CE长度最大，证明△ACB∽△DCE，求出CE的长．

解答 解：∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
则BC=2AC，
∵AC²+BC²=AB²，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AC=2，
根据题意，当CD最大时，CE长度最大，
则CD为直径，CE为切线，
∴△ACB∽△DCE，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，CD=2$\sqrt{5}$，
∴CE=4$\sqrt{5}$．
故答案为：2；4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用直径所对的圆周角为直角，直径是最长的弦，相似三角形的对应边成比例是解题的关键．