Question

12．在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形，∠ADE=90°，则BE的长为（　　）

• A． $4-2\sqrt{3}$
• B． $2-\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}-1$
• D． $\frac{1}{2}（\sqrt{3}-1）$

Answer 1

分析 过点EF作∥AC，交BC于点F，证明△ADC和△DEF全等，得出DF=AC=1，设CD=x，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答．

解答 解：过点E作EF作∥AC，交BC于点F，
∴∠BFC=∠C=90°，
∵∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°
∴AB=2AC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：CB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=DA，
∵∠DAC+∠ADC=90°，∠EDF+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠EDF
在△ADC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠EDF}\\{∠C=∠EFD=90°}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△DEF（AAS），
∴DF=AC=1，
设CD=x，所以EF=x，BF=$\sqrt{3}$-1-x
∵EF∥AC
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{\sqrt{3}-1-x}{\sqrt{3}}$，
解得：x=2-$\sqrt{3}$，
∴BE=2x=4-2$\sqrt{3}$．
故选A

点评 此题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．