【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm.现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S;
(2)当t=3秒时,P、Q两点之间的距离是多少?
(3)当t为多少秒时,以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?
【答案】 ; 秒或秒时,以点、、为顶点的三角形与相似.
【解析】
(1)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP、CQ用含t的表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解;
(2)在Rt△CPQ中,当t=3秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出;
(3)应分两种情况:当Rt△CPQ∽Rt△CAB时,根据=,可求出时间t;当Rt△CPQ∽Rt△CBA时,根据=,可求出时间t.
(1)由题意得:AP=4t,CQ=2t,则CP=20﹣4t,因此Rt△CPQ的面积为S=CP×CQ=(0≤t≤5);
(2)由题意得:AP=4t,CQ=2t,则CP=20﹣4t,当t=3秒时,CP=20﹣4t=8cm,CQ=2t=6cm.
在Rt△CPQ中,由勾股定理得:PQ=;
(3)由题意得:AP=4t,CQ=2t,则CP=20﹣4t.
分两种情况讨论:
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时,,即,解得:t=3秒;
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时,,即,解得:t=秒.
因此t=3秒或t=秒时,以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.
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【题目】如图,中,,于,平分,于,与相交于点,是边的中点,连接与相交于点,下列结论:①;②;③是等腰三角形;④.正确的有( )个.
A.个B.个C.个D.个
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【题目】小红爸爸从家骑电瓶车出发,沿一条直路到相距2400m的学校接小红回家,小红爸爸出发的同时,小红以96m/min的速度从学校沿同一条道路步行回家,小红爸爸赶到学校校门口等候2min后知道小红已离校,立即沿原路以原速返回,设他们出发的时间为t min,图示中的折线OABD表示小红爸爸与家之间的距离S1与t之间的函数关系,线段EF表示小红与家之间的距离S2与t之间的函数关系,则小红爸爸从家出发在返回途中追上小红的时间是( )
A.12minB.16minC.18minD.20min
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【题目】已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )
A. 当a=1时,函数图象过点(-1,1)
B. 当a=-2时,函数图象与x轴没有交点
C. 若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小
D. 若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
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