Question

如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=AB，反比例函数y=的图象经过点C，则k的值为　　　　　　．

Answer 1

﹣　．

 

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】首先求出点A、B的坐标，然后由勾股定理求得AB，设∠BAO=θ，则sinθ=，cosθ=，过点O作RT△AOB斜边上的高OE，斜边上的中线OF，通过解直角三角形求得AE=OA•cosθ=2×=，根据三角形中线的性质求得OF=AB，从而求得OC=OF=，进而求得AC=AE+EC=+=．过点C作CG⊥x轴于点G，则CG=AC•sinθ=×=，AG=AC•cosθ=×=，从而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得．

【解答】解：如图，在y=﹣x+1中，令y=0，则x=2；令x=0，得y=1，

∴A（2，0），B（0，1）．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=．

设∠BAO=θ，则sinθ=，cosθ=．

过点O作RT△AOB斜边上的高OE，斜边上的中线OF，则AE=OA•cosθ=2×=，OF=AB，

∵OC=AB，

∴OC=OF=，

∴EF=AE﹣AF=﹣=．

∵OC=OF，OE⊥CF，

∴EC=EF=，

∴AC=AE+EC=+=．

过点C作CG⊥x轴于点G，则CG=AC•sinθ=×=，

AG=AC•cosθ=×=，

∴OG=AG﹣OA=﹣2=．

∴C（﹣，）．

∵反比例函数y=的图象经过点C，

∴k=﹣×=﹣，

故答案为﹣．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其知识点：勾股定理的应用，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求解析式等．