Question

（本题8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE＝CE；（4分）

（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，求证：△AEF≌△BCF．（4分）

Answer 1

证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知和等腰三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，即可得到△ABE≌△ACE，应用全等三角形的性质可得BE＝CE；

（2）由已知证得AF＝BF，由（1）得∠EAF＝∠CBF，再有∠AFE＝∠BFC＝90°，即可证得△AEF≌△BCF．

试题解析：证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．（运用垂直平分线的性质说明也可）

（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF．

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定和性质．

考点分析： 考点1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性． 试题属性

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