【题目】如图1,已知抛物线顶点C(1,4),且与y轴交于点D(0,3).
(1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点A、B的坐标;
(2)将直线AC绕点A顺时针旋转45°后得到直线AE,与抛物线的另一个交点为E,请求出点E的坐标;
(3)如图2,点P是该抛物线上位于第一象限的点,线段AP交BD于点M、交y轴于点N,△BMP和△DMN的面积分别为S1,S2,求S1﹣S2的最大值.
【答案】(1)点A、B的坐标分别为(﹣1,0)、(3,0);(2)点E(,);(3)S1﹣S2的最大值为.
【解析】
(1)设抛物线的表达式为:y=a(x-h)2+k=a(x-1)2+4,将点D的坐标代入上式,即可求解;
(2)构建△ACH,用解直角三角形的方法求出点H的坐标,进而求解;
(3)设S=S△ABM,则S1-S2=(S1+S)-(S+S2)=S△ABP-S△BDO,即可求解.
解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣h)2+k=a(x﹣1)2+4,
将点D的坐标代入上式并解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3①;
令y=0,则x=﹣1或3,
故点A、B的坐标分别为:(﹣1,0)、(3,0);
(2)如图,设函数的对称轴交x轴于点G,交AE于点H,过点H作HN⊥AC于点N,
在△AGC中,tan∠ACG==tan∠HCN,
在Rt△CHN中,设HN=x,则CN=HNtan∠HCN=2x,
在Rt△ANH中,∠NAH=45°,则AN=NH=x,
故AC=AN+CN=3x=,
故x=,
在Rt△CHN中,CH=,
故点H(1,),
由点A、H的坐标得,直线AH的表达式为:y=x+②,
联立①②并解得:x=或﹣1(舍去﹣1),
故点E(,);
(3)设点P的坐标为(x,y),y=﹣x2+2x+3,
设S=S△ABM,
则S1﹣S2=(S1+S)﹣(S+S2)=S△ABP﹣S△BDO
=×AB×y﹣×OB×OD
=×4×y×3×3
=﹣2x2+4x+,
∵﹣2<0,故S1﹣S2有最大值,
当x=1时,其最大值为;
故S1﹣S2的最大值为.
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【题目】如图1,是的直径,弦于G,过C点的切线与射线相交于点E,直线与交于点H,,.
(Ⅰ)求的半径;
(Ⅱ)将射线绕D点逆时针旋转,得射线(如图2),与交于点M,与及切线分别相交于点N,F,当时,求切线的长.
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【题目】某学校招聘数学教师,本次招聘进行专业技能测试和课堂教学展示两个项目的考核,这两项考核的满分均为100分,学校将这两个项目的得分按一定的比例计算出总成绩.经统计,参加考核的4名考生的两个项目的得分如下:
(1)经过计算,1号考生的总成绩为78分,求专业技能测试得分和课堂教学展示得分分别占总成绩的百分比;
(2)若学校录取总成绩最高的考生,通过计算说明,4名考生中哪一名考生会被录取?
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【题目】某蔬菜批发公司用实际行动支持抗击新冠肺炎疫情,为确保市民在疫情期间的蔬菜供应,以平均每吨万元的价格购进一批蔬菜,已知这批蔬菜通过网络在市场上的日销售量(吨)与销售价格(万元/吨)之间的函数关系如下图所示.
(1)求日销售量与销售价格之间的函数关系式; (不要求写的取值范围)
(2)如果要确保日销售量不小于吨,求最大毛利润.(假设:毛利润=销售额-购进成本)
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【题目】五张正面分别写有数字:﹣3,﹣2,0,1,2的卡片,它们的背面完全相同,现将这五张卡片背面朝上洗匀.
(1)从中任意抽取一张卡片,则所抽卡片上数字的绝对值不小于1的概率是 ;
(2)先从中任意抽取一张卡片,以其正面数字作为m的值,然后再从剩余的卡片中随机抽一张,以其正面的数字作为n的值,请用列表法或画树状图法,求点Q(m,n)在第四象限的概率.
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【题目】为了响应国家提出的“每天锻炼1小时”的号召,某校积极开展了形式多样的“阳光体育”运动,毛毛对该班同学参加锻炼的情况进行了统计(每人只能选其中一项),并绘制了如图两个统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)毛毛这次一共调查了多少名学生?
(2)补全条形统计图,并求出扇形统计图中“足球”所在扇形的圆心角度数;
(3)若该校有1800名学生,请估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人.
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ACB 为钝角,边 AC 绕点 A 沿逆时针方向旋转 90°得到AD,边 BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°得到 BE,作 DM⊥AB 于点 M,EN⊥AB于 点 N, 若 AB=10,EN=4, 则 DM=__________.
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【题目】如图,平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线y1=上,B、D在双曲线上,k1=2k2(k1>0),AB∥y轴,=24,则k2的值为( )
A.4B.-4C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于A(2,4),B(n,﹣2)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)点C是第一象限内反比例函数图象上的一点,且点C在A的右侧,过点C作CD平行于y轴交直线AB于点D,若以C为圆心,CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切,求点C的坐标.
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