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【题目】如图1,已知抛物线顶点C14),且与y轴交于点D03).

1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点AB的坐标;

2)将直线AC绕点A顺时针旋转45°后得到直线AE,与抛物线的另一个交点为E,请求出点E的坐标;

3)如图2,点P是该抛物线上位于第一象限的点,线段APBD于点M、交y轴于点N,△BMP和△DMN的面积分别为S1S2,求S1S2的最大值.

【答案】1)点AB的坐标分别为(﹣10)、(30);(2)点E);(3S1S2的最大值为

【解析】

1)设抛物线的表达式为:y=ax-h2+k=ax-12+4,将点D的坐标代入上式,即可求解;
2)构建△ACH,用解直角三角形的方法求出点H的坐标,进而求解;
3)设S=SABM,则S1-S2=S1+S-S+S2=SABP-SBDO,即可求解.

解:(1)设抛物线的表达式为:yaxh2+kax12+4

将点D的坐标代入上式并解得:a=﹣1

故抛物线的表达式为:y=﹣(x12+4=﹣x2+2x+3

y0,则x=﹣13

故点AB的坐标分别为:(﹣10)、(30);

2)如图,设函数的对称轴交x轴于点G,交AE于点H,过点HHNAC于点N

在△AGC中,tanACGtanHCN

RtCHN中,设HNx,则CNHNtanHCN2x

RtANH中,∠NAH45°,则ANNHx

ACAN+CN3x

x

RtCHN中,CH

故点H1),

由点AH的坐标得,直线AH的表达式为:yx+

联立①②并解得:x或﹣1(舍去﹣1),

故点E);

3)设点P的坐标为(xy),y=﹣x2+2x+3

SSABM

S1S2=(S1+S)﹣(S+S2)=SABPSBDO

×AB×y×OB×OD

×4×y×3×3

=﹣2x2+4x+

∵﹣20,故S1S2有最大值,

x1时,其最大值为

S1S2的最大值为

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