Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-0.5x2+x+4；（2）P（1，0）；（3）存在，Q1（1，1），Q2（1， ）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）

【解析】试题分析: （1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式;（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值;（3）本题要分三种情况进行讨论：①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标;

试题解析:

（1）∵x2-2x-8=0，

∴（x-4）（x+2）=0．

∴x1=4，x2=-2．

∴A（4，0），B（-2，0）．

又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∴

解得

∴所求抛物线的解析式为y=-0.5x2+x+4;

（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G,如图所示:

∵点B坐标为（-2，0），点A坐标（4，0），

∴AB=6，BP=m+2．

∵PE∥AC，

∴△BPE∽△BAC．

∴BP：AB=EG：CH

∴EG：4=(m+2):6

∴EG=(2m+4):3

∴S△CPE=S△CBP-S△EBP

=-1/3（m-1）2+3．

又∵-2≤m≤4，

∴当m=1时，S△CPE有最大值3．此时P点的坐标为（1，0）;

（3）存在Q点，
∵BC= ,

设Q（1，n），
当BQ=CQ时，
则32+n2=12+（n-4）2，
解得：n=1，
即Q1（1，1）；
当BC=BQ=,时，9+n2=20，
解得：n=± ,

∴Q2（1， ），Q3（1，-）；

当BC=CQ=时, ，1+（n-4）2=20，
解得：n=4±

∴Q4（1，4+）, Q5（1，4-）;

综上可得：坐标为Q1（1，1），Q2（1， ）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）.

点睛: 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法.